与えられた分数式を約分して、既約分数式に直す問題です。具体的には、以下の4つの式をそれぞれ既約分数式に変換します。 (1) $\frac{6x^4y^2}{2x^2y^3}$ (2) $\frac{3x-9}{x^2-x-6}$ (3) $\frac{x^2-7x+10}{2x^2-x-6}$ (4) $\frac{x^2-1}{x^3-1}$

1. 問題の内容

与えられた分数式を約分して、既約分数式に直す問題です。具体的には、以下の4つの式をそれぞれ既約分数式に変換します。

(1) $\frac{6x^4y^2}{2x^2y^3}$

(2) $\frac{3x-9}{x^2-x-6}$

(3) $\frac{x^2-7x+10}{2x^2-x-6}$

(4) $\frac{x^2-1}{x^3-1}$

2. 解き方の手順

各分数式について、分子と分母をそれぞれ因数分解し、共通の因数を約分します。

(1) $\frac{6x^4y^2}{2x^2y^3}$

分子と分母をそれぞれ因数分解します。

$\frac{6x^4y^2}{2x^2y^3} = \frac{2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot x^2 \cdot y^2}{2 \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot y}$

共通因数 $2x^2y^2$ で約分します。

$\frac{2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot x^2 \cdot y^2}{2 \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot y} = \frac{3x^2}{y}$

(2) $\frac{3x-9}{x^2-x-6}$

分子と分母をそれぞれ因数分解します。

$\frac{3x-9}{x^2-x-6} = \frac{3(x-3)}{(x-3)(x+2)}$

共通因数 $(x-3)$ で約分します。

$\frac{3(x-3)}{(x-3)(x+2)} = \frac{3}{x+2}$

(3) $\frac{x^2-7x+10}{2x^2-x-6}$

分子と分母をそれぞれ因数分解します。

$\frac{x^2-7x+10}{2x^2-x-6} = \frac{(x-2)(x-5)}{(2x+3)(x-2)}$

共通因数 $(x-2)$ で約分します。

$\frac{(x-2)(x-5)}{(2x+3)(x-2)} = \frac{x-5}{2x+3}$

(4) $\frac{x^2-1}{x^3-1}$

分子と分母をそれぞれ因数分解します。

$\frac{x^2-1}{x^3-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$

共通因数 $(x-1)$ で約分します。

$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x+1}{x^2+x+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3x^2}{y}$

(2) $\frac{3}{x+2}$

(3) $\frac{x-5}{2x+3}$

(4) $\frac{x+1}{x^2+x+1}$