$\theta$ は $0 \le \theta < 2\pi$ を満たす定数とする。$x$ の2次方程式 $x^2 + 2(1-\cos\theta)x + 3 - \sin^2\theta - 2\sin2\theta - 2\sin\theta = 0$ (*) を考える。 (1) 方程式 (*) が異なる2つの実数解 $\alpha$, $\beta$ を持つとき, $\theta$ は不等式 $2\sin2\theta + \boxed{\text{ア}} \sin\theta - \boxed{\text{イ}} \cos\theta - \boxed{\text{ウ}} > 0$ を満たす。このことから, $\theta$ の値の範囲を求める。 (2) $x = \sin\theta$ が方程式 (*) の解となるような角 $\theta$ は全部で $\boxed{\text{サ}}$ 個ある。さらに $\theta$ が鋭角のとき, 方程式 (*) の $x = \sin\theta$ 以外の解を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ は $0 \le \theta < 2\pi$ を満たす定数とする。$x$ の2次方程式 $x^2 + 2(1-\cos\theta)x + 3 - \sin^2\theta - 2\sin2\theta - 2\sin\theta = 0$ (*) を考える。

(1) 方程式 (*) が異なる2つの実数解 $\alpha$, $\beta$ を持つとき, $\theta$ は不等式 $2\sin2\theta + \boxed{\text{ア}} \sin\theta - \boxed{\text{イ}} \cos\theta - \boxed{\text{ウ}} > 0$ を満たす。このことから, $\theta$ の値の範囲を求める。

(2) $x = \sin\theta$ が方程式 (*) の解となるような角 $\theta$ は全部で $\boxed{\text{サ}}$ 個ある。さらに $\theta$ が鋭角のとき, 方程式 (*) の $x = \sin\theta$ 以外の解を求める。

2. 解き方の手順

(1)

方程式 (*) が異なる2つの実数解を持つための条件は, 判別式 $D > 0$ である。

$D/4 = (1-\cos\theta)^2 - (3 - \sin^2\theta - 2\sin2\theta - 2\sin\theta) > 0$

$1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta - 3 + \sin^2\theta + 2\sin2\theta + 2\sin\theta > 0$

$1 - 2\cos\theta + 1 - 3 + 2\sin2\theta + 2\sin\theta > 0$

$2\sin2\theta + 2\sin\theta - 2\cos\theta - 1 > 0$

したがって, $\boxed{\text{ア}} = 2$, $\boxed{\text{イ}} = 2$, $\boxed{\text{ウ}} = 1$ である。

$2\sin2\theta + 2\sin\theta - 2\cos\theta - 1 > 0$

$4\sin\theta\cos\theta + 2\sin\theta - 2\cos\theta - 1 > 0$

$(\sin\theta - \frac{1}{2})(4\cos\theta + 2) > 0$

$(\sin\theta - \frac{1}{2}) > 0$ より $\sin\theta > \frac{1}{2}$ であるから, $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$

$\boxed{\text{エ}} = 1, \boxed{\text{オ}} = 5, \boxed{\text{カ}} = 6$

(2)

$x = \sin\theta$ が (*) の解であるとき,

$\sin^2\theta + 2(1-\cos\theta)\sin\theta + 3 - \sin^2\theta - 2\sin2\theta - 2\sin\theta = 0$

$2\sin\theta - 2\sin\theta\cos\theta + 3 - 2\sin2\theta - 2\sin\theta = 0$

$- 2\sin\theta\cos\theta + 3 - 4\sin\theta\cos\theta = 0$

$- 6\sin\theta\cos\theta = -3$

$3\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{2}$

$\sin2\theta = 1$

$2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

したがって $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ の2つであるから, $\boxed{\text{サ}} = 2$

$\theta$ が鋭角のとき, $\theta = \frac{\pi}{4}$ である。

したがって, $(*)$ は $x^2 + 2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})x + 3 - \frac{1}{2} - 2\sin\frac{\pi}{2} - 2\sin\frac{\pi}{4} = 0$

$x^2 + (2-\sqrt{2})x + \frac{5}{2} - \sqrt{2} = 0$

$x^2 + (2-\sqrt{2})x + \frac{5-2\sqrt{2}}{2} = 0$

$x = \sin\theta = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解に持つ。

解と係数の関係より, $x_1 + x_2 = -2 + \sqrt{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} + x_2 = -2 + \sqrt{2}$

$x_2 = -2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x_2 = \frac{-4+\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 2

ウ: 1

エ: 1

オ: 5

カ: 6

サ: 2

シス: -4

セ: 2

ソ: 2

$x = \frac{-4 + \sqrt{2}}{2}$