与えられた式を有理化し、計算せよ。具体的には、以下の4つの問題を解く。 (1) $\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{6}}$ (2) $\frac{8}{3-\sqrt{5}} - \frac{2}{2+\sqrt{5}}$ (3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ (4) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた式を有理化し、計算せよ。具体的には、以下の4つの問題を解く。

(1) $\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{6}}$

(2) $\frac{8}{3-\sqrt{5}} - \frac{2}{2+\sqrt{5}}$

(3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

(4) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(1) 各項を有理化する。

$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

$\frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$

したがって、$\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{\sqrt{6}}{12} = \frac{6\sqrt{6}-2\sqrt{6}+\sqrt{6}}{12} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$

(2) 各項を有理化する。

$\frac{8}{3-\sqrt{5}} = \frac{8(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{8(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{8(3+\sqrt{5})}{4} = 2(3+\sqrt{5}) = 6+2\sqrt{5}$

$\frac{2}{2+\sqrt{5}} = \frac{2(2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} = \frac{2(2-\sqrt{5})}{4-5} = \frac{2(2-\sqrt{5})}{-1} = -4+2\sqrt{5}$

したがって、$6+2\sqrt{5}-(-4+2\sqrt{5}) = 6+2\sqrt{5}+4-2\sqrt{5} = 10$

(3) 各項を有理化する。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{3-1} = \frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{15}-3}{5-3} = \frac{\sqrt{15}-3}{2}$

したがって、$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{15}-3}{2} = \frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}-\sqrt{15}+3}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

(4) 各項を有理化する。

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{3-2\sqrt{6}+2}{3-2} = 5-2\sqrt{6}$

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{6}+2}{3-2} = 5+2\sqrt{6}$

したがって、$5-2\sqrt{6}+5+2\sqrt{6} = 10$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5\sqrt{6}}{12}$

(2) $10$

(3) $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

(4) $10$