問題63の因数分解と問題64の計算を行います。 問題63：次の式を因数分解せよ。 (1) $2x^2y - 72y$ (2) $(2x-y)^2 + 2(y-2x)$ (3) $2x^2 - 9xy + 4y^2$ (4) $1 + 2ab + a + 2b$ 問題64：次の計算をせよ。 (1) $(5 - \frac{12}{\sqrt{6}})(5 + \sqrt{24})$ (2) $(\sqrt{5}+1-\sqrt{6})(\sqrt{5}+1+\sqrt{6})$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題63の因数分解と問題64の計算を行います。

問題63：次の式を因数分解せよ。

(1) $2x^2y - 72y$

(2) $(2x-y)^2 + 2(y-2x)$

(3) $2x^2 - 9xy + 4y^2$

(4) $1 + 2ab + a + 2b$

問題64：次の計算をせよ。

(1) $(5 - \frac{12}{\sqrt{6}})(5 + \sqrt{24})$

(2) $(\sqrt{5}+1-\sqrt{6})(\sqrt{5}+1+\sqrt{6})$

2. 解き方の手順

問題63

(1)

$2x^2y - 72y$

共通因数 $2y$ でくくります。

$2y(x^2 - 36)$

$x^2 - 36 = x^2 - 6^2$ であるから、和と差の積の公式を使います。

$2y(x-6)(x+6)$

(2)

$(2x-y)^2 + 2(y-2x)$

$2(y-2x) = -2(2x-y)$ より、

$(2x-y)^2 - 2(2x-y)$

共通因数 $(2x-y)$ でくくります。

$(2x-y)((2x-y) - 2)$

$(2x-y)(2x-y-2)$

(3)

$2x^2 - 9xy + 4y^2$

$(2x-y)(x-4y)$

(4)

$1 + 2ab + a + 2b$

$(a+1)(2b+1)$

問題64

(1)

$(5 - \frac{12}{\sqrt{6}})(5 + \sqrt{24})$

まず、$\frac{12}{\sqrt{6}}$ を有理化します。

$\frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$

また、$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$

$(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})$

和と差の積の公式を使います。

$5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \times 6 = 25 - 24 = 1$

(2)

$(\sqrt{5}+1-\sqrt{6})(\sqrt{5}+1+\sqrt{6})$

$(\sqrt{5}+1-\sqrt{6})(\sqrt{5}+1+\sqrt{6}) = ((\sqrt{5}+1) - \sqrt{6})((\sqrt{5}+1) + \sqrt{6})$

和と差の積の公式を使います。

$(\sqrt{5}+1)^2 - (\sqrt{6})^2 = (5 + 2\sqrt{5} + 1) - 6 = 6 + 2\sqrt{5} - 6 = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

問題63

(1) $2y(x-6)(x+6)$

(2) $(2x-y)(2x-y-2)$

(3) $(2x-y)(x-4y)$

(4) $(a+1)(2b+1)$

問題64

(1) $1$

(2) $2\sqrt{5}$