$\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ の整数の部分を $a$、小数の部分を $b$ とする。 (1) $a, b$ の値を求めよ。 (2) $b + \frac{1}{b}, b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ の整数の部分を $a$、小数の部分を $b$ とする。

(1) $a, b$ の値を求めよ。

(2) $b + \frac{1}{b}, b^2 + \frac{1}{b^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} \times \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$

$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{5} < 3$ である。

したがって、$\sqrt{5} + 2$ の整数の部分 $a$ は $2 + 2 = 4$ である。

$\sqrt{5} + 2$ の小数部分 $b$ は $(\sqrt{5} + 2) - 4 = \sqrt{5} - 2$ である。

(2) $b + \frac{1}{b}$ を求める。

$b + \frac{1}{b} = (\sqrt{5} - 2) + \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5}$

次に、$b^2 + \frac{1}{b^2}$ を求める。

$(b + \frac{1}{b})^2 = b^2 + 2(b)(\frac{1}{b}) + \frac{1}{b^2} = b^2 + 2 + \frac{1}{b^2}$

したがって、$b^2 + \frac{1}{b^2} = (b + \frac{1}{b})^2 - 2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 4 \times 5 - 2 = 20 - 2 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $a = 4, b = \sqrt{5} - 2$

(2) $b + \frac{1}{b} = 2\sqrt{5}, b^2 + \frac{1}{b^2} = 18$