与えられた行列式の値を計算する問題です。行列式は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を計算する問題です。行列式は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 2 & 3 & 4 \\

1 & 4 & 9 & 16 \\

1 & 8 & 27 & 64

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡略化します。まず、2行目から1行目を引き、3行目から1行目を引き、4行目から1行目を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 3 \\

0 & 3 & 8 & 15 \\

0 & 7 & 26 & 63

\end{vmatrix}

$$

次に、3行目から2行目の3倍を引き、4行目から2行目の7倍を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 3 \\

0 & 0 & 2 & 6 \\

0 & 0 & 12 & 42

\end{vmatrix}

$$

最後に、4行目から3行目の6倍を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 3 \\

0 & 0 & 2 & 6 \\

0 & 0 & 0 & 6

\end{vmatrix}

$$

この行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積になります。

$1 \times 1 \times 2 \times 6 = 12$

3. 最終的な答え

12