次の4つの式を展開せよ。 (1) $(x+2)(x^2-2x+4)$ (2) $(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)$ (3) $(x-1)(x^2+x+1)$ (4) $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$

1. 問題の内容

次の4つの式を展開せよ。

(1) $(x+2)(x^2-2x+4)$

(2) $(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)$

(3) $(x-1)(x^2+x+1)$

(4) $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$

2. 解き方の手順

(1) $(x+2)(x^2-2x+4)$

これは和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ を利用できる。$a=x, b=2$ とすると、

$(x+2)(x^2-2x+4) = x^3+2^3 = x^3+8$

(2) $(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)$

これも和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ を利用できる。$a=2x, b=3y$ とすると、

$(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2) = (2x)^3+(3y)^3 = 8x^3+27y^3$

(3) $(x-1)(x^2+x+1)$

これは差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を利用できる。$a=x, b=1$ とすると、

$(x-1)(x^2+x+1) = x^3-1^3 = x^3-1$

(4) $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$

これも差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を利用できる。$a=2x, b=y$ とすると、

$(2x-y)(4x^2+2xy+y^2) = (2x)^3-y^3 = 8x^3-y^3$

3. 最終的な答え

(1) $x^3+8$

(2) $8x^3+27y^3$

(3) $x^3-1$

(4) $8x^3-y^3$