与えられた2次関数の式を標準形に変形し、グラフの頂点の座標を求める問題です。与えられた式は $y = -\frac{2}{3}x^2 - 2x + 3$ です。

1. 問題の内容

与えられた2次関数の式を標準形に変形し、グラフの頂点の座標を求める問題です。与えられた式は $y = -\frac{2}{3}x^2 - 2x + 3$ です。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成します。まず、$x^2$ の項と $x$ の項を $x^2$ の係数でくくります。

$$y = -\frac{2}{3}(x^2 + 3x) + 3$$

次に、括弧の中を平方完成します。$x$ の係数の半分である $\frac{3}{2}$ の2乗 $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ を足して引きます。

$$y = -\frac{2}{3}\left(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}\right) + 3$$

$$y = -\frac{2}{3}\left(\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right) + 3$$

次に、括弧を展開します。

$$y = -\frac{2}{3}\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} + 3$$

$$y = -\frac{2}{3}\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} + 3$$

$$y = -\frac{2}{3}\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} + \frac{6}{2}$$

$$y = -\frac{2}{3}\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{2}$$

よって、頂点の座標は $\left(-\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)$ となります。

3. 最終的な答え

頂点の座標: $\left(-\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)$