与えられた問題は、次の4つの式を因数分解することです。 (1) $x^3 + 27$ (2) $8x^3 + 27y^3$ (3) $x^3 - 1$ (4) $27x^3 - y^3$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の4つの式を因数分解することです。

(1) $x^3 + 27$

(2) $8x^3 + 27y^3$

(3) $x^3 - 1$

(4) $27x^3 - y^3$

2. 解き方の手順

因数分解の公式を利用します。

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

(1) $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$

$a=x, b=3$ として公式に代入します。

$x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - x \cdot 3 + 3^2) = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$

(2) $8x^3 + 27y^3 = (2x)^3 + (3y)^3$

$a=2x, b=3y$ として公式に代入します。

$(2x)^3 + (3y)^3 = (2x + 3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x+3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(3) $x^3 - 1 = x^3 - 1^3$

$a=x, b=1$ として公式に代入します。

$x^3 - 1^3 = (x-1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x-1)(x^2 + x + 1)$

(4) $27x^3 - y^3 = (3x)^3 - y^3$

$a=3x, b=y$ として公式に代入します。

$(3x)^3 - y^3 = (3x - y)((3x)^2 + (3x)(y) + y^2) = (3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+3)(x^2 - 3x + 9)$

(2) $(2x+3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(3) $(x-1)(x^2 + x + 1)$

(4) $(3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2)$