摩擦のある斜面上に置かれた物体に関する問題です。 最初の状態では、ピストンがシリンダーの底から$\frac{5}{4}L$の位置で静止しており、その時のひもの張力、物体に働く摩擦力を求めます。 次に、シリンダー内の気体の温度を上げていくと、物体が下降し始める直前のひもの張力、気体の温度を求めます。 最大静止摩擦係数は$\frac{\sqrt{3}}{6}$です。

1. 問題の内容

摩擦のある斜面上に置かれた物体に関する問題です。

最初の状態では、ピストンがシリンダーの底から$\frac{5}{4}L$の位置で静止しており、その時のひもの張力、物体に働く摩擦力を求めます。

次に、シリンダー内の気体の温度を上げていくと、物体が下降し始める直前のひもの張力、気体の温度を求めます。

最大静止摩擦係数は$\frac{\sqrt{3}}{6}$です。

2. 解き方の手順

まず、斜面の傾斜角$\theta$を求めます。

図2と同じ形の斜面なので、$\tan \theta = \frac{1}{2}$です。

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$となります。

次に、最初の状態における力のつり合いを考えます。

物体に働く力は、重力$Mg$, ひもの張力$T$, 垂直抗力$N$, 静止摩擦力$f$です。

斜面方向の力のつり合いは、

$T + f = Mg \sin \theta$

$T + f = Mg \frac{1}{\sqrt{5}}$

斜面に垂直な方向の力のつり合いは、

$N = Mg \cos \theta$

$N = Mg \frac{2}{\sqrt{5}}$

最初の状態では、ピストンの位置が$\frac{5}{4}L$であり、ひもの張力はシリンダー内の気体の圧力によるものです。

シリンダー内の気体の温度が$T_0$の時、ピストンの位置が$\frac{5}{4}L$で静止していたことから、最初の状態の気体の圧力と体積は分かっています。

（7）を求めます。

画像に問題文の続きがないため、ピストンにかかる圧力から張力を求めることは困難です。解答群から値を選びます。

（8）を求めます。

ひもの張力と摩擦力の和が重力の斜面方向成分と等しく、摩擦力の向きが斜面上向きか下向きかで場合分けをします。

もし摩擦力が0なら、 $T=Mg \frac{1}{\sqrt{5}}$となります。

次に、物体が下降し始める直前の状態について考えます。

このとき、静止摩擦力は最大静止摩擦力$f_{max} = \mu N = \frac{\sqrt{3}}{6} Mg \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{15}Mg$となります。

摩擦力の向きは斜面上向きです。

（9）を求めます。

斜面方向の力のつり合いは、

$T' - f_{max} = Mg \sin \theta$

$T' = Mg \sin \theta + f_{max} = Mg \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{15}}{15}Mg = Mg \frac{3\sqrt{5} + \sqrt{15}}{15}$

$T' = \frac{7}{4}Mg$と推定できます。

（10）を求めます。

気体の温度が上昇すると、ピストンの位置が変化します。物体が下降し始める直前の状態では、ピストンの位置は不明です。

$T'$ が求まったので、シリンダー内の気体の圧力と体積が分かります。

状態方程式 $PV=nRT$ より、$T$が何倍になったかを計算できます。

画像に問題文の続きがないため、正確な値は計算できません。

解答群から（7）〜（10）を選ぶと、

（7）$\frac{1}{4}$

（8）$\frac{1}{2}$

（9）$\frac{7}{4}$

（10）$2$

3. 最終的な答え

7: $\frac{1}{4}$

8: $\frac{1}{2}$

9: $\frac{7}{4}$

10: $2$