半径 $r$ の円上を、中心の質量 $M$ の物体からの重力を受けて、一定の速さ $v$ で回転する物体に対して、$\frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}$ が成り立つ。$v$ を $M$, $r$, $G$ で表せ。ただし、$v$, $M$, $r$, $G$ はすべて正とする。

1. 問題の内容

半径 $r$ の円上を、中心の質量 $M$ の物体からの重力を受けて、一定の速さ $v$ で回転する物体に対して、$\frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}$ が成り立つ。$v$ を $M$, $r$, $G$ で表せ。ただし、$v$, $M$, $r$, $G$ はすべて正とする。

2. 解き方の手順

与えられた式 $\frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}$ から $v$ を求める。

まず、両辺に $r$ を掛ける。

$$v^2 = \frac{GM}{r}$$

次に、両辺の平方根を取る。ここで、$v$, $G$, $M$, $r$ はすべて正なので、正の平方根のみを考慮する。

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

3. 最終的な答え

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$