平行平板コンデンサーに電荷を蓄え、電極間隔を変化させたときの電位差、電界の強さ、仕事、力、電界の変化、電荷の変化を求める問題です。

1. 問題の内容

平行平板コンデンサーに電荷を蓄え、電極間隔を変化させたときの電位差、電界の強さ、仕事、力、電界の変化、電荷の変化を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 電位差:

コンデンサーに電荷 $Q$ が蓄えられたとき、電位差 $V$ は $V = \frac{Q}{C}$ で与えられます。ここで、$C$ はコンデンサーの電気容量であり、$C = \frac{\epsilon S}{d}$ です。したがって、$V = \frac{Qd}{\epsilon S}$ となります。

(2) 電界の強さ:

電界の強さ $E$ は $E = \frac{V}{d}$ で与えられます。したがって、$E = \frac{Q}{\epsilon S}$ となります。

(3) 仕事:

電極間隔を $d$ から $d-x$ に変化させるとき、コンデンサーの電気容量は $C' = \frac{\epsilon S}{d-x}$ に変化します。このとき、電位差は変化しません（電源につながっていないので電荷が一定）。したがって、静電気力は $F = \frac{Q^2}{2 \epsilon S}$であり、仕事は$W = \int_d^{d-x} \frac{Q^2}{2 \epsilon S} dx = \frac{Q^2x}{2\epsilon S}$ となります。

(4) 力:

力は $F = \frac{dW}{dx} = \frac{Q^2}{2\epsilon S}$で表されます。

(5) 電界の強さの変化:

電極間隔が $d-x$ になったときの電界の強さ $E'$ は $E' = \frac{Q}{\epsilon S}$ であり、これは元の電界の強さ $E$ と同じです。したがって、電界の強さの変化は1倍です。

静電気力から求めた電界の強さをE''とすると、$F=QE''$より、$E''=\frac{F}{Q}$となります。求めた$F = \frac{Q^2}{2\epsilon S}$を代入すると、$E'' = \frac{Q}{2\epsilon S}=\frac{1}{2}E$

(6) 電荷の変化:

電極間隔を $d-x$ に保ったまま端子GとHを端子G'とH'に接続すると、コンデンサーには再び電位差が発生し、$V' = \frac{Qd}{\epsilon S}$に変化します。コンデンサーの電気容量は $C' = \frac{\epsilon S}{d-x}$ ですので、電荷は $Q'=C'V=\frac{\epsilon S}{d-x}V$となります。

$V=\frac{Qd}{\epsilon S}$より、$Q=\frac{V\epsilon S}{d}$となります。

$Q'=CV=\frac{\epsilon S}{d-x}V$となり、変化量は$Q'-Q=\frac{\epsilon S}{d-x}V-\frac{\epsilon S}{d}V=\epsilon S V(\frac{1}{d-x}-\frac{1}{d})=\frac{\epsilon S V x}{d(d-x)}$となります。

1. 最終的な答え

1: $\frac{Qd}{\epsilon S}$

2: $\frac{Q}{\epsilon S}$

3: $\frac{Q^2 x}{2\epsilon S}$

4: $\frac{Q^2}{2\epsilon S}$

5: 1/2

6: $\frac{\epsilon S V x}{d(d-x)}$