直線 $x+my-4=0$ が、円 $x^2+y^2=2$ と接するときの $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $x+my-4=0$ が、円 $x^2+y^2=2$ と接するときの $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心と直線の距離が円の半径に等しいとき、直線は円に接する。

円 $x^2+y^2=2$ の中心は原点 $(0,0)$ であり、半径は $\sqrt{2}$ である。

直線 $x+my-4=0$ と点 $(0,0)$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より、

$$d = \frac{|1 \cdot 0 + m \cdot 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + m^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{1+m^2}} = \frac{4}{\sqrt{1+m^2}}$$

直線が円に接するとき $d = \sqrt{2}$ であるから、

$$\frac{4}{\sqrt{1+m^2}} = \sqrt{2}$$

両辺を2乗して

$$\frac{16}{1+m^2} = 2$$

$$16 = 2(1+m^2)$$

$$8 = 1+m^2$$

$$m^2 = 7$$

$$m = \pm \sqrt{7}$$

3. 最終的な答え

$m = \pm \sqrt{7}$