問題6の(2)は、$(3x-y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題6の(2)は、$(3x-y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理より、$(3x-y)^6$ の展開式の一般項は $_6C_r (3x)^{6-r} (-y)^r$ で表されます。

$x^3y^3$ の項の係数を求めたいので、$x$ の指数が3、$y$ の指数が3となるように $r$ を決定します。

$r=3$ のとき、$x$ の指数は $6-r = 6-3 = 3$ となり、求める係数は $_6C_3 (3x)^{6-3} (-y)^3 = _6C_3 (3x)^3 (-y)^3$ となります。

$_6C_3$ を計算すると、

$$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$$

よって、係数は

$$_6C_3 (3)^3 (-1)^3 = 20 \times 27 \times (-1) = -540$$

3. 最終的な答え

-540