$a > 0$ のとき、$a - 2 + \frac{2}{a+1}$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、$a - 2 + \frac{2}{a+1}$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を $f(a) = a - 2 + \frac{2}{a+1}$ とおきます。$a > 0$ なので、$a+1 > 1$ です。

まず、$f(a)$ を変形します。

$f(a) = (a+1) - 3 + \frac{2}{a+1}$

ここで、$a+1 > 0$ なので、相加相乗平均の関係が使えます。

$a+1$ と $\frac{2}{a+1}$ の相加相乗平均の関係より、

$\frac{(a+1) + \frac{2}{a+1}}{2} \ge \sqrt{(a+1) \cdot \frac{2}{a+1}}$

$(a+1) + \frac{2}{a+1} \ge 2\sqrt{2}$

よって、$f(a) = (a+1) + \frac{2}{a+1} - 3 \ge 2\sqrt{2} - 3$

等号成立は、$a+1 = \frac{2}{a+1}$ のときです。

$(a+1)^2 = 2$

$a+1 = \sqrt{2}$ ($a+1 > 0$ より)

$a = \sqrt{2} - 1$

これは $a>0$ を満たします。

したがって、最小値は $2\sqrt{2} - 3$ です。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} - 3$