整式 $3x^3 + 7x^2 - x - 5$ をある整式 B で割ると、商が $3x - 2$ 、余りが $2x - 3$ である。このとき、整式 B を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $3x^3 + 7x^2 - x - 5$ をある整式 B で割ると、商が $3x - 2$ 、余りが $2x - 3$ である。このとき、整式 B を求めよ。

2. 解き方の手順

整式の割り算の関係式より、

$3x^3 + 7x^2 - x - 5 = B(3x - 2) + (2x - 3)$

が成り立つ。

まず、B(3x - 2) のみを左辺に残すために、両辺から (2x - 3) を引く。

$3x^3 + 7x^2 - x - 5 - (2x - 3) = B(3x - 2)$

整理すると、

$3x^3 + 7x^2 - 3x - 2 = B(3x - 2)$

したがって、整式 $3x^3 + 7x^2 - 3x - 2$ を $3x - 2$ で割ることで、整式 B を求めることができる。

筆算で割り算を行う。

```

x^2 + 3x + 1

3x - 2 | 3x^3 + 7x^2 - 3x - 2

3x^3 - 2x^2

-----------

9x^2 - 3x

9x^2 - 6x

-----------

3x - 2

3x - 2

-----------

0

```

したがって、$B = x^2 + 3x + 1$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + 3x + 1$