あるクラスで100点満点の試験を行ったところ、平均点が60点、分散が25であった。生徒全員の得点を$\frac{1}{2}$倍し、さらに10点を加えた後の、平均値、分散、標準偏差を求める。

1. 問題の内容

あるクラスで100点満点の試験を行ったところ、平均点が60点、分散が25であった。生徒全員の得点を$\frac{1}{2}$倍し、さらに10点を加えた後の、平均値、分散、標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

得点調整後の得点を$y$、調整前の得点を$x$とすると、

$y = \frac{1}{2}x + 10$

と表せる。

平均値$\bar{x} = 60$、分散$V(x) = 25$である。標準偏差は分散の平方根なので、調整前の標準偏差は$\sqrt{25}=5$となる。

$y$の平均値$\bar{y}$は、

$\bar{y} = \frac{1}{2}\bar{x} + 10 = \frac{1}{2}(60) + 10 = 30 + 10 = 40$

$y$の分散$V(y)$は、

$V(y) = V(\frac{1}{2}x + 10) = (\frac{1}{2})^2V(x) = \frac{1}{4}(25) = \frac{25}{4} = 6.25$

$y$の標準偏差$S(y)$は、

$S(y) = \sqrt{V(y)} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5$

3. 最終的な答え

平均値：40点

分散：6.25

標準偏差：2.5