確率変数 $X$ の期待値 $E(X) = 7$、分散 $V(X) = 9$ であるとき、以下の確率変数 $Y$ について、期待値 $E(Y)$、分散 $V(Y)$、標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めます。 (1) $Y = X + 2$ (2) $Y = -4X$ (3) $Y = 3X - 5$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値 $E(X) = 7$、分散 $V(X) = 9$ であるとき、以下の確率変数 $Y$ について、期待値 $E(Y)$、分散 $V(Y)$、標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めます。

(1) $Y = X + 2$

(2) $Y = -4X$

(3) $Y = 3X - 5$

2. 解き方の手順

確率変数の線形変換の期待値、分散の公式を利用します。

$E(aX + b) = aE(X) + b$

$V(aX + b) = a^2V(X)$

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

(1) $Y = X + 2$

$E(Y) = E(X + 2) = E(X) + 2 = 7 + 2 = 9$

$V(Y) = V(X + 2) = V(X) = 9$

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{9} = 3$

(2) $Y = -4X$

$E(Y) = E(-4X) = -4E(X) = -4 \times 7 = -28$

$V(Y) = V(-4X) = (-4)^2V(X) = 16 \times 9 = 144$

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{144} = 12$

(3) $Y = 3X - 5$

$E(Y) = E(3X - 5) = 3E(X) - 5 = 3 \times 7 - 5 = 21 - 5 = 16$

$V(Y) = V(3X - 5) = 3^2V(X) = 9 \times 9 = 81$

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{81} = 9$

3. 最終的な答え

(1) $Y = X + 2$ のとき

$E(Y) = 9$

$V(Y) = 9$

$\sigma(Y) = 3$

(2) $Y = -4X$ のとき

$E(Y) = -28$

$V(Y) = 144$

$\sigma(Y) = 12$

(3) $Y = 3X - 5$ のとき

$E(Y) = 16$

$V(Y) = 81$

$\sigma(Y) = 9$