2枚の硬貨と1個のサイコロを同時に投げます。硬貨の表の出る枚数を確率変数 $X$、サイコロの出る目を確率変数 $Y$ とします。 $X$ と $Y$ の同時分布を求め、$X$ と $Y$ が独立であることを確かめ、$Z = X + Y$ の期待値 $E[Z]$ と分散 $V[Z]$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2枚の硬貨と1個のサイコロを同時に投げます。硬貨の表の出る枚数を確率変数 $X$、サイコロの出る目を確率変数 $Y$ とします。

$X$ と $Y$ の同時分布を求め、$X$ と $Y$ が独立であることを確かめ、$Z = X + Y$ の期待値 $E[Z]$ と分散 $V[Z]$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$X$ と $Y$ の取りうる値を考えます。$X$ は 0, 1, 2 のいずれかの値を取り、$Y$ は 1, 2, 3, 4, 5, 6 のいずれかの値を取ります。

次に、それぞれの確率を計算します。

$P(X=0) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$P(X=1) = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$P(X=2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$P(Y=i) = \frac{1}{6}$ for $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

$X$と$Y$は独立なので、$P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$が成立します。

したがって、$X$と$Y$の同時分布は次のようになります。

$P(X=0, Y=y) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{24}$

$P(X=1, Y=y) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$

$P(X=2, Y=y) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{24}$

ここで、$y = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ です。

$P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$ が成り立つので、$X$ と $Y$ は独立です。

次に、$Z = X + Y$ の期待値と分散を計算します。

$E[X] = 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} = 1$

$E[Y] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

$E[Z] = E[X+Y] = E[X] + E[Y] = 1 + \frac{7}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

$E[X^2] = 0^2 \times \frac{1}{4} + 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{3}{2} - 1^2 = \frac{1}{2}$

$E[Y^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

$X$と$Y$は独立なので、$V[Z] = V[X+Y] = V[X] + V[Y] = \frac{1}{2} + \frac{35}{12} = \frac{6+35}{12} = \frac{41}{12}$

3. 最終的な答え

$X$と$Y$の同時分布:

$P(X=0, Y=y) = \frac{1}{24}$

$P(X=1, Y=y) = \frac{1}{12}$

$P(X=2, Y=y) = \frac{1}{24}$

$E[Z] = \frac{9}{2} = 4.5$

$V[Z] = \frac{41}{12}$