4本中1本の当たりくじがある。綾さん、光さん、亮さんの順にくじを引くとき、次の確率を求めなさい。 (1) 綾さんと光さんの2人が外れる確率 (2) 光さんと亮さんの2人が外れる確率

1. 問題の内容

4本中1本の当たりくじがある。綾さん、光さん、亮さんの順にくじを引くとき、次の確率を求めなさい。

(1) 綾さんと光さんの2人が外れる確率

(2) 光さんと亮さんの2人が外れる確率

2. 解き方の手順

(1) 綾さんと光さんが外れる確率を求める。

綾さんが外れる確率は、$3/4$。

綾さんが外れたとき、残りのくじは3本で当たりくじは1本。

光さんが外れる確率は、$2/3$。

よって、綾さんと光さんが外れる確率は、

$\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

(2) 光さんと亮さんが外れる確率を求める。

まず、全ての場合の数を考える。これは、4本から3本を選ぶ順列なので、4P3 = 4 * 3 * 2 = 24通り。

または、1本目、2本目、3本目のくじの引き方をそれぞれ考えると、4通り、3通り、2通りなので、4 * 3 * 2 = 24通り。

光さんと亮さんが外れる場合を考える。

光さんが外れるのは、綾さんが当たった場合と、綾さんが外れた場合がある。

i) 綾さんが当たった場合：

綾さんが当たりを引く確率は $1/4$。

光さんは残りの3本から外れを引くので確率は$2/3$。

亮さんは残りの2本から外れを引くので確率は$1/2$。

この確率は $\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$

ii) 綾さんが外れた場合：

綾さんが外れる確率は $3/4$。

光さんは残りの3本から外れを引くので確率は$1/2$。

亮さんは残りの2本から外れを引くので確率は$0/1=0$または $1/1 = 1$

光さんと亮さんがともに外れる確率は計算が難しいので、直接確率を計算する。

綾さんが当たりを引いた場合は、光さんが外れる確率は、$2/3$ で、亮さんが外れる確率は、$1/2$。

綾さんが外れを引いた場合は、光さんが外れる確率は、$1/2$ で、亮さんが外れる確率は、$1/1$ (必ず外れる)。

したがって、光さんと亮さんが外れるのは、次の2つの場合。

(a) 綾さんが当たりを引く。

この確率は $1/4$。このとき、光さんは残りの3本から当たりを引かない確率 $2/3$ で外れを引く。さらに亮さんは残りの2本から当たりを引かない確率 $1/2$ で外れを引く。確率は $\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$

(b) 綾さんが外れを引く。

この確率は $3/4$。光さんは残りの3本から当たりを引かない確率 $1/2$ で外れを引く。さらに亮さんは残りの2本から当たりを引かない確率 $1/1$ で外れを引く。確率は $\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{1} = \frac{3}{8}$

したがって、光さんと亮さんが外れる確率は、$\frac{1}{12} + \frac{3}{8} = \frac{2}{24} + \frac{9}{24} = \frac{11}{24}$

3. 最終的な答え

(1) 綾さんと光さんの2人が外れる確率: $\frac{1}{2}$

(2) 光さんと亮さんの2人が外れる確率: $\frac{11}{24}$