ある工場に3台の機械A, B, Cがあり、それぞれ製品の40%, 40%, 20%を生産している。また、各機械で生産される製品のうち不良品の割合はそれぞれ2%, 2%, 4%である。この工場で作られた製品の中から1個の製品をランダムに取り出したところ、その製品が不良品であった。このとき、その不良品が機械Cで生産されたものである確率を求める。

1. 問題の内容

ある工場に3台の機械A, B, Cがあり、それぞれ製品の40%, 40%, 20%を生産している。また、各機械で生産される製品のうち不良品の割合はそれぞれ2%, 2%, 4%である。この工場で作られた製品の中から1個の製品をランダムに取り出したところ、その製品が不良品であった。このとき、その不良品が機械Cで生産されたものである確率を求める。

2. 解き方の手順

条件付き確率の問題である。不良品である事象をD, 機械Aで生産された事象をA, 機械Bで生産された事象をB, 機械Cで生産された事象をCとする。求めたい確率は $P(C|D)$ である。ベイズの定理より、

$P(C|D) = \frac{P(D|C)P(C)}{P(D)}$

となる。

$P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.4$, $P(C) = 0.2$

$P(D|A) = 0.02$, $P(D|B) = 0.02$, $P(D|C) = 0.04$

$P(D)$ は、全確率の法則より、

$P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)$

$= 0.02 \times 0.4 + 0.02 \times 0.4 + 0.04 \times 0.2$

$= 0.008 + 0.008 + 0.008 = 0.024$

したがって、

$P(C|D) = \frac{0.04 \times 0.2}{0.024} = \frac{0.008}{0.024} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

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