確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$ (a) 期待値 $E(X)$ を求めなさい。 (b) 分散 $V(X)$ を求めなさい。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$

(a) 期待値 $E(X)$ を求めなさい。

(b) 分散 $V(X)$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(a) 期待値 $E(X)$ の計算:

期待値 $E(X)$ は、確率密度関数 $f(x)$ を用いて以下のように計算されます。

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

この問題では、

$E(X) = \int_{0}^{2} x \left( -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x \right) dx$

$E(X) = \int_{0}^{2} \left( -\frac{3}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right) dx$

$E(X) = \left[ -\frac{3}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^3 \right]_{0}^{2}$

$E(X) = -\frac{3}{16}(2^4) + \frac{1}{2}(2^3) = -\frac{3}{16}(16) + \frac{1}{2}(8) = -3 + 4 = 1$

(b) 分散 $V(X)$ の計算:

分散 $V(X)$ は、 $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算されます。

$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$

$E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 \left( -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x \right) dx$

$E(X^2) = \int_{0}^{2} \left( -\frac{3}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^3 \right) dx$

$E(X^2) = \left[ -\frac{3}{20}x^5 + \frac{3}{8}x^4 \right]_{0}^{2}$

$E(X^2) = -\frac{3}{20}(2^5) + \frac{3}{8}(2^4) = -\frac{3}{20}(32) + \frac{3}{8}(16) = -\frac{96}{20} + \frac{48}{8} = -\frac{24}{5} + 6 = \frac{-24 + 30}{5} = \frac{6}{5}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{6}{5} - (1)^2 = \frac{6}{5} - 1 = \frac{6-5}{5} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(a) 期待値 $E(X) = 1$

(b) 分散 $V(X) = \frac{1}{5}$