確率変数 $X$ が与えられており、その期待値は5、標準偏差は2です。この $X$ を変換して、新しい確率変数 $Y = aX + b$ を作りたいです。ただし、$Y$ の期待値は0、標準偏差は1である必要があります。定数 $a$ と $b$ の値を求めます。ここで、$a > 0$ であることが条件として与えられています。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が与えられており、その期待値は5、標準偏差は2です。この $X$ を変換して、新しい確率変数 $Y = aX + b$ を作りたいです。ただし、$Y$ の期待値は0、標準偏差は1である必要があります。定数 $a$ と $b$ の値を求めます。ここで、$a > 0$ であることが条件として与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$Y$ の期待値 $E(Y)$ を計算します。

$E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b$

問題より、$E(X) = 5$ であり、$E(Y) = 0$ なので、

$0 = 5a + b$

次に、$Y$ の標準偏差 $SD(Y)$ を計算します。

$SD(Y) = SD(aX + b) = |a|SD(X)$

問題より、$SD(X) = 2$ であり、$SD(Y) = 1$ なので、

$1 = |a| \times 2$

$|a| = \frac{1}{2}$

$a>0$ なので、$a = \frac{1}{2}$

$0 = 5a + b$ に $a = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$0 = 5 \times \frac{1}{2} + b$

$b = -\frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$

$b = -\frac{5}{2}$