赤玉5個と白玉2個が入った袋から、元に戻さずに1個ずつ続けて3回玉を取り出す。赤玉の出る個数を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の期待値を求める。また、確率変数の値とその確率が、問題に添付された表に以下のように示されている。 | X | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---| | P | $\frac{5}{7}$ | $\frac{20}{7}$ | $\frac{10}{7}$|

1. 問題の内容

赤玉5個と白玉2個が入った袋から、元に戻さずに1個ずつ続けて3回玉を取り出す。赤玉の出る個数を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の期待値を求める。また、確率変数の値とその確率が、問題に添付された表に以下のように示されている。

| X | 1 | 2 | 3 |

|---|---|---|---|

| P | $\frac{5}{7}$ | $\frac{20}{7}$ | $\frac{10}{7}$|

2. 解き方の手順

確率変数の期待値は、各変数の値とそれぞれの確率の積の合計として計算されます。

つまり、$E[X] = \sum x_i P(x_i)$ で求められます。

この問題の場合、$X$ は赤玉の個数であり、$X$ が 1, 2, 3 である確率はそれぞれ $\frac{5}{7}$, $\frac{20}{7}$, $\frac{10}{7}$ と与えられています。したがって、

$E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$

$E[X] = 1 \cdot \frac{5}{7} + 2 \cdot \frac{20}{7} + 3 \cdot \frac{10}{7}$

$E[X] = \frac{5}{7} + \frac{40}{7} + \frac{30}{7}$

$E[X] = \frac{5+40+30}{7}$

$E[X] = \frac{75}{7}$

ここで確率の合計が１にならないため、確率が間違っていると考えられます。以下に正しい確率を計算して期待値を求めます。

3個取り出すとき、赤玉の個数 $X$ は 0, 1, 2, 3 のいずれかの値を取ります。

全体の玉の個数は 7 個です。

$P(X=0)$: 白、白、白を取り出す確率。

$P(X=0) = \frac{2}{7} \times \frac{1}{6} \times \frac{0}{5} = 0$

$P(X=1)$: 赤、白、白 or 白、赤、白 or 白、白、赤

$P(X=1) = (\frac{5}{7} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{5}) + (\frac{2}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{5}) + (\frac{2}{7} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{5})$

$= 3 \times \frac{10}{210} = \frac{30}{210} = \frac{1}{7}$

$P(X=2)$: 赤、赤、白 or 赤、白、赤 or 白、赤、赤

$P(X=2) = (\frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{5}) + (\frac{5}{7} \times \frac{2}{6} \times \frac{4}{5}) + (\frac{2}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{4}{5})$

$= 3 \times \frac{40}{210} = \frac{120}{210} = \frac{4}{7}$

$P(X=3)$: 赤、赤、赤

$P(X=3) = \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{60}{210} = \frac{2}{7}$

期待値 $E[X] = 0 \times 0 + 1 \times \frac{1}{7} + 2 \times \frac{4}{7} + 3 \times \frac{2}{7}$

$= \frac{1}{7} + \frac{8}{7} + \frac{6}{7} = \frac{15}{7}$

3. 最終的な答え

問題に添付された表の確率が間違っていると考えられます。正しくは、確率変数 $X$ の期待値は $\frac{15}{7}$ です。

しかし、添付されている表の値をそのまま使うなら、$\frac{75}{7}$ です。