1から10までの数字が1つずつ書かれた10枚のカードから1枚を抜き出すとき、抜き出したカードの数字を確率変数 $X$ とします。 (1) $X$ の期待値 $m$ を求めます。 (2) $X$ の分散と標準偏差を求めます。

1. 問題の内容

1から10までの数字が1つずつ書かれた10枚のカードから1枚を抜き出すとき、抜き出したカードの数字を確率変数 $X$ とします。

(1) $X$ の期待値 $m$ を求めます。

(2) $X$ の分散と標準偏差を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 期待値 $m$ の計算

$X$ の期待値 $m$ は、各値とその確率の積の和で求められます。各カードが選ばれる確率は $\frac{1}{10}$ なので、

$$m = E(X) = \sum_{i=1}^{10} i \cdot P(X=i) = \sum_{i=1}^{10} i \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} i$$

等差数列の和の公式を用いると、

$$\sum_{i=1}^{10} i = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$$

したがって、

$$m = \frac{55}{10} = 5.5$$

(2) 分散 $V(X)$ の計算

分散 $V(X)$ は、各値の2乗の期待値から期待値の2乗を引いたもので求められます。

$$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = E(X^2) - m^2$$

まず $E(X^2)$ を計算します。

$$E(X^2) = \sum_{i=1}^{10} i^2 \cdot P(X=i) = \sum_{i=1}^{10} i^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} i^2$$

2乗の和の公式を用いると、

$$\sum_{i=1}^{10} i^2 = \frac{10(10+1)(2 \cdot 10 + 1)}{6} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$$

したがって、

$$E(X^2) = \frac{385}{10} = 38.5$$

分散は

$$V(X) = E(X^2) - m^2 = 38.5 - (5.5)^2 = 38.5 - 30.25 = 8.25$$

標準偏差 $\sigma$ の計算

標準偏差 $\sigma$ は、分散の平方根です。

$$\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{8.25} \approx 2.87$$

3. 最終的な答え

(1) 期待値: $5.5$

(2) 分散: $8.25$

標準偏差: $\sqrt{8.25}$ (または約2.87)