1個のサイコロを1回投げたときに出る目を確率変数 $X$ とするとき、確率変数 $4X+5$ の期待値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを1回投げたときに出る目を確率変数 $X$ とするとき、確率変数 $4X+5$ の期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求める。

$X$ は 1 から 6 の値を等確率 $\frac{1}{6}$ でとる。

$E(X) = \sum_{i=1}^{6} i \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} (1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

$E(X^2) = \sum_{i=1}^{6} i^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) = \frac{1}{6}(1+4+9+16+25+36) = \frac{91}{6}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

次に、確率変数 $4X+5$ の期待値と分散を計算する。

期待値の性質 $E(aX+b) = aE(X) + b$ より、

$E(4X+5) = 4E(X) + 5 = 4 \cdot \frac{7}{2} + 5 = 14 + 5 = 19$

分散の性質 $V(aX+b) = a^2 V(X)$ より、

$V(4X+5) = 4^2 V(X) = 16 \cdot \frac{35}{12} = \frac{4 \cdot 35}{3} = \frac{140}{3}$

3. 最終的な答え

期待値: 19

分散: $\frac{140}{3}$