10個の品物の中に3個の不良品が入っている。この中から4個を同時に取り出すとき、取り出した4個に含まれる不良品の個数を確率変数 $X$ とする。$X$ の期待値と標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

10個の品物の中に3個の不良品が入っている。この中から4個を同時に取り出すとき、取り出した4個に含まれる不良品の個数を確率変数 $X$ とする。$X$ の期待値と標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の取り得る値とその確率を求める。

$X$ は取り出した4個に含まれる不良品の個数なので、$X$ は 0, 1, 2, 3 のいずれかの値を取る。

取り出し方は全部で ${}_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$ 通り。

- $X = 0$ のとき、不良品を1つも含まない。つまり、良品7個から4個を取り出す。その場合の数は ${}_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$ 通り。したがって、$P(X=0) = \frac{35}{210} = \frac{1}{6}$

- $X = 1$ のとき、不良品を1個、良品を3個取り出す。その場合の数は ${}_3C_1 \cdot {}_7C_3 = 3 \cdot \frac{7!}{3!4!} = 3 \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 35 = 105$ 通り。したがって、$P(X=1) = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}$

- $X = 2$ のとき、不良品を2個、良品を2個取り出す。その場合の数は ${}_3C_2 \cdot {}_7C_2 = 3 \cdot \frac{7!}{2!5!} = 3 \cdot \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 3 \cdot 21 = 63$ 通り。したがって、$P(X=2) = \frac{63}{210} = \frac{3}{10}$

- $X = 3$ のとき、不良品を3個、良品を1個取り出す。その場合の数は ${}_3C_3 \cdot {}_7C_1 = 1 \cdot 7 = 7$ 通り。したがって、$P(X=3) = \frac{7}{210} = \frac{1}{30}$

次に、期待値 $E(X)$ を求める。

$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{30} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{6}{10} + \frac{3}{30} = \frac{1}{2} + \frac{3}{5} + \frac{1}{10} = \frac{5+6+1}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1.2$

次に、分散 $V(X)$ を求める。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

まず、$E(X^2)$ を求める。

$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i) = 0^2 \cdot \frac{1}{6} + 1^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 3^2 \cdot \frac{1}{30} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{12}{10} + \frac{9}{30} = \frac{1}{2} + \frac{6}{5} + \frac{3}{10} = \frac{5+12+3}{10} = \frac{20}{10} = 2$

$V(X) = 2 - (1.2)^2 = 2 - 1.44 = 0.56$

最後に、標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0.56} = \sqrt{\frac{56}{100}} = \sqrt{\frac{14}{25}} = \frac{\sqrt{14}}{5}$

3. 最終的な答え

期待値: $E(X) = 1.2$

標準偏差: $\sigma(X) = \frac{\sqrt{14}}{5}$