袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この試行を最大で3回まで繰り返す。ただし、赤玉を取り出した場合は、以後の試行は行わない。 (1) 試行が1回または2回で終わる確率を求める。 (2) 試行が1回行われるごとに100円受け取るとする。受け取る金額の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この試行を最大で3回まで繰り返す。ただし、赤玉を取り出した場合は、以後の試行は行わない。

(1) 試行が1回または2回で終わる確率を求める。

(2) 試行が1回行われるごとに100円受け取るとする。受け取る金額の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 試行が1回で終わる確率は、1回目に赤玉が出る確率である。

1回目に赤玉が出る確率は、$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。

試行が2回で終わる確率は、1回目に赤玉が出ず、2回目に赤玉が出る確率である。

1回目に赤玉が出ない確率は、$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。

2回目に赤玉が出る確率は、$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。

よって、試行が2回で終わる確率は、$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ である。

したがって、試行が1回または2回で終わる確率は、$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ である。

(2) 試行が1回、2回、3回行われる確率をそれぞれ求める。

試行が1回行われる（1回目に赤玉が出る）確率は $\frac{1}{2}$ である。

試行が2回行われる確率は、1回目に赤玉が出ず、2回目に赤玉が出る確率である。$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ である。

試行が3回行われる確率は、1回目と2回目に赤玉が出ず、3回目に赤玉が出るか、または3回目まで赤玉が出ない確率である。

1回目と2回目に赤玉が出ない確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ である。

3回目に赤玉が出る確率は $\frac{1}{2}$ であるから、3回目に赤玉が出て試行が終わる確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ である。

3回目まで赤玉が出ない確率は、1回目から3回目まで赤玉が出ない確率である。これは $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ である。

従って、試行が3回行われる確率は $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

試行が1回行われるとき、受け取る金額は100円である。

試行が2回行われるとき、受け取る金額は200円である。

試行が3回行われるとき、受け取る金額は300円である。

期待値は、それぞれの金額に確率をかけたものの和である。

期待値 = $100 \times \frac{1}{2} + 200 \times \frac{1}{4} + 300 \times \frac{1}{8} + 300 \times \frac{1}{8}= 50 + 50 + \frac{300}{8} + \frac{300}{8}= 100 + 75 = 175$円

3. 最終的な答え

(1) 3/4

(2) 175 円