画像に写っている二次式のうち、(2) $x^2 + 5x - 1$, (3) $x^2 + 4$, (5) $2x^2 + 7$, (6) $3x^2 + 4x + 2$ をそれぞれ因数分解できるか判定し、因数分解できる場合は因数分解の結果を求めます。

1. 問題の内容

画像に写っている二次式のうち、(2) $x^2 + 5x - 1$, (3) $x^2 + 4$, (5) $2x^2 + 7$, (6) $3x^2 + 4x + 2$ をそれぞれ因数分解できるか判定し、因数分解できる場合は因数分解の結果を求めます。

2. 解き方の手順

それぞれの二次式について、判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算します。

- $D > 0$ ならば、異なる二つの実数解を持つので、因数分解できます。

- $D = 0$ ならば、重解を持つので、因数分解できます。

- $D < 0$ ならば、実数解を持たないので、実数の範囲では因数分解できません。

(2) $x^2 + 5x - 1$ の場合:

$a = 1$, $b = 5$, $c = -1$ なので、

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 25 + 4 = 29 > 0$

よって、因数分解できます。解の公式から、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$

したがって、$x^2 + 5x - 1 = (x - \frac{-5 + \sqrt{29}}{2})(x - \frac{-5 - \sqrt{29}}{2})$

(3) $x^2 + 4$ の場合:

$a = 1$, $b = 0$, $c = 4$ なので、

$D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -16 < 0$

よって、実数の範囲では因数分解できません。

(5) $2x^2 + 7$ の場合:

$a = 2$, $b = 0$, $c = 7$ なので、

$D = 0^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = -56 < 0$

よって、実数の範囲では因数分解できません。

(6) $3x^2 + 4x + 2$ の場合:

$a = 3$, $b = 4$, $c = 2$ なので、

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8 < 0$

よって、実数の範囲では因数分解できません。

3. 最終的な答え

(2) $x^2 + 5x - 1 = (x - \frac{-5 + \sqrt{29}}{2})(x - \frac{-5 - \sqrt{29}}{2})$

(3) 実数の範囲では因数分解できません

(5) 実数の範囲では因数分解できません

(6) 実数の範囲では因数分解できません