30人の生徒の数学の得点$x$と英語の得点$y$のデータがある。$x$と$y$の共分散は62、相関係数は0.85である。 得点調整のため、$z = 2x + 10$, $w = 3y - 40$という新しい変量$z$、$w$を作るとき、$z$と$w$の共分散、相関係数を求めよ。

1. 問題の内容

30人の生徒の数学の得点$x$と英語の得点$y$のデータがある。$x$と$y$の共分散は62、相関係数は0.85である。

得点調整のため、$z = 2x + 10$, $w = 3y - 40$という新しい変量$z$、$w$を作るとき、$z$と$w$の共分散、相関係数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$z$と$w$の共分散を求める。

共分散の性質として、定数倍はそのまま共分散に反映される。つまり、

$Cov(ax, by) = abCov(x, y)$。

また、定数の足し引きは共分散に影響しない。つまり、$Cov(x+a, y+b) = Cov(x, y)$。

したがって、$Cov(z, w) = Cov(2x + 10, 3y - 40) = Cov(2x, 3y) = 2 \cdot 3 Cov(x, y) = 6 Cov(x, y)$。

問題文より、$x$と$y$の共分散は62なので、$Cov(x, y) = 62$。

よって、$Cov(z, w) = 6 \cdot 62 = 372$。

次に、$z$と$w$の相関係数を求める。

相関係数は、共分散をそれぞれの標準偏差の積で割ったものなので、

$r_{zw} = \frac{Cov(z, w)}{\sigma_z \sigma_w}$。

標準偏差の性質として、定数倍はそのまま標準偏差に反映される。つまり、$\sigma_{ax} = |a|\sigma_x$。

したがって、$\sigma_z = \sigma_{2x + 10} = \sigma_{2x} = 2\sigma_x$、$\sigma_w = \sigma_{3y - 40} = \sigma_{3y} = 3\sigma_y$。

よって、$r_{zw} = \frac{Cov(z, w)}{\sigma_z \sigma_w} = \frac{6Cov(x, y)}{2\sigma_x \cdot 3\sigma_y} = \frac{6Cov(x, y)}{6\sigma_x \sigma_y} = \frac{Cov(x, y)}{\sigma_x \sigma_y} = r_{xy}$。

問題文より、$x$と$y$の相関係数は0.85なので、$r_{xy} = 0.85$。

したがって、$z$と$w$の相関係数$r_{zw} = 0.85$。

3. 最終的な答え

$z$と$w$の共分散は372

$z$と$w$の相関係数は0.85