袋の中に白玉7個と黒玉3個が入っている。この袋から5個の玉を同時に取り出すとき、取り出した黒玉の個数を確率変数$X$とする。確率変数$X$の確率分布を求めよ。また、$P(1 \le X \le 2)$を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉7個と黒玉3個が入っている。この袋から5個の玉を同時に取り出すとき、取り出した黒玉の個数を確率変数$X$とする。確率変数$X$の確率分布を求めよ。また、$P(1 \le X \le 2)$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、取り出す黒玉の個数$X$が取りうる値を考える。全部で3個しか黒玉がないので、取り出す黒玉の個数は0個から3個の範囲となる。また、5個の玉を取り出すので、黒玉の個数が0個のとき、白玉が5個、黒玉の個数が1個のとき、白玉が4個、黒玉の個数が2個のとき、白玉が3個、黒玉の個数が3個のとき、白玉が2個取り出される。

次に、$X$がそれぞれの値をとる確率を計算する。全部で10個の玉から5個を取り出す組み合わせの総数は、

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{}_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252

$$$$

$X=0$のとき（黒玉を0個取り出すとき）、白玉7個から5個を選ぶので、

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P(X=0) = \frac{{}_7C_5}{{}_{10}C_5} = \frac{\frac{7!}{5!2!}}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}

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$X=1$のとき（黒玉を1個取り出すとき）、黒玉3個から1個、白玉7個から4個を選ぶので、

$$$$

P(X=1) = \frac{{}_3C_1 \times {}_7C_4}{{}_{10}C_5} = \frac{3 \times \frac{7!}{4!3!}}{252} = \frac{3 \times 35}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}

$$$$

$X=2$のとき（黒玉を2個取り出すとき）、黒玉3個から2個、白玉7個から3個を選ぶので、

$$$$

P(X=2) = \frac{{}_3C_2 \times {}_7C_3}{{}_{10}C_5} = \frac{3 \times \frac{7!}{3!4!}}{252} = \frac{3 \times 35}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}

$$$$

$X=3$のとき（黒玉を3個取り出すとき）、黒玉3個から3個、白玉7個から2個を選ぶので、

$$$$

P(X=3) = \frac{{}_3C_3 \times {}_7C_2}{{}_{10}C_5} = \frac{1 \times \frac{7!}{2!5!}}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}

$$$$

したがって、確率分布は以下のようになる。

$P(X=0)=\frac{1}{12}, P(X=1)=\frac{5}{12}, P(X=2)=\frac{5}{12}, P(X=3)=\frac{1}{12}$

最後に、$P(1 \le X \le 2)$を計算する。

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P(1 \le X \le 2) = P(X=1) + P(X=2) = \frac{5}{12} + \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

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3. 最終的な答え

確率変数$X$の確率分布は、

$P(X=0) = \frac{1}{12}$

$P(X=1) = \frac{5}{12}$

$P(X=2) = \frac{5}{12}$

$P(X=3) = \frac{1}{12}$

$P(1 \le X \le 2) = \frac{5}{6}$