1つのサイコロを3回投げたとき、出た目の最大値を確率変数 $X$ とします。$X$ の確率分布を求めなさい。

1. 問題の内容

1つのサイコロを3回投げたとき、出た目の最大値を確率変数 $X$ とします。$X$ の確率分布を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$X$ がとりうる値は 1, 2, 3, 4, 5, 6 です。

それぞれの値をとる確率を計算します。サイコロの目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りです。

* $X=1$ のとき：3回とも1が出る場合のみなので、確率は $\frac{1}{216}$。

* $X=2$ のとき：3回のうち少なくとも1回は2が出て、それ以外は1か2である必要があります。3回とも1か2が出る場合は $2^3 = 8$ 通り。そのうち3回とも1が出る場合は1通りなので、$X=2$ となるのは $8-1=7$ 通り。したがって確率は $\frac{7}{216}$。

* $X=3$ のとき：3回のうち少なくとも1回は3が出て、それ以外は1, 2, 3のいずれかである必要があります。3回とも1,2,3のいずれかが出る場合は $3^3=27$ 通り。そのうち最大値が2以下である場合（つまり、1,2のみが出る場合）は $2^3=8$ 通りなので、$X=3$ となるのは $27-8=19$ 通り。したがって確率は $\frac{19}{216}$。

* $X=4$ のとき：3回のうち少なくとも1回は4が出て、それ以外は1, 2, 3, 4のいずれかである必要があります。3回とも1,2,3,4のいずれかが出る場合は $4^3=64$ 通り。そのうち最大値が3以下である場合（つまり、1,2,3のみが出る場合）は $3^3=27$ 通りなので、$X=4$ となるのは $64-27=37$ 通り。したがって確率は $\frac{37}{216}$。

* $X=5$ のとき：3回のうち少なくとも1回は5が出て、それ以外は1, 2, 3, 4, 5のいずれかである必要があります。3回とも1,2,3,4,5のいずれかが出る場合は $5^3=125$ 通り。そのうち最大値が4以下である場合（つまり、1,2,3,4のみが出る場合）は $4^3=64$ 通りなので、$X=5$ となるのは $125-64=61$ 通り。したがって確率は $\frac{61}{216}$。

* $X=6$ のとき：3回のうち少なくとも1回は6が出て、それ以外は1, 2, 3, 4, 5, 6のいずれかである必要があります。3回とも1,2,3,4,5,6のいずれかが出る場合は $6^3=216$ 通り。そのうち最大値が5以下である場合（つまり、1,2,3,4,5のみが出る場合）は $5^3=125$ 通りなので、$X=6$ となるのは $216-125=91$ 通り。したがって確率は $\frac{91}{216}$。

3. 最終的な答え

| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

| --- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |

| P | 1/216 | 7/216 | 19/216 | 37/216 | 61/216 | 91/216 |