与えられた4つの数式を計算し、最も簡単な形にしてください。 (1) $\frac{x^2}{x-2} \times \frac{x^2-4}{2x}$ (2) $\frac{x^2+5x}{x+3} \times \frac{2x^2+5x-3}{2x^2-x}$ (3) $\frac{4a^2-b^2}{a^2-4b^2} \div \frac{2a+b}{a-2b}$ (4) $\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3} \div \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}$

1. 問題の内容

与えられた4つの数式を計算し、最も簡単な形にしてください。

(1) $\frac{x^2}{x-2} \times \frac{x^2-4}{2x}$

(2) $\frac{x^2+5x}{x+3} \times \frac{2x^2+5x-3}{2x^2-x}$

(3) $\frac{4a^2-b^2}{a^2-4b^2} \div \frac{2a+b}{a-2b}$

(4) $\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3} \div \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{x^2}{x-2} \times \frac{x^2-4}{2x} = \frac{x^2}{x-2} \times \frac{(x-2)(x+2)}{2x} = \frac{x^2(x-2)(x+2)}{2x(x-2)}$

$x \neq 0, 2$のとき、

$\frac{x(x+2)}{2} = \frac{x^2+2x}{2}$

(2)

$\frac{x^2+5x}{x+3} \times \frac{2x^2+5x-3}{2x^2-x} = \frac{x(x+5)}{x+3} \times \frac{(2x-1)(x+3)}{x(2x-1)} = \frac{x(x+5)(2x-1)(x+3)}{x(x+3)(2x-1)}$

$x \neq 0, -3, \frac{1}{2}$のとき、

$x+5$

(3)

$\frac{4a^2-b^2}{a^2-4b^2} \div \frac{2a+b}{a-2b} = \frac{(2a-b)(2a+b)}{(a-2b)(a+2b)} \times \frac{a-2b}{2a+b} = \frac{(2a-b)(2a+b)(a-2b)}{(a-2b)(a+2b)(2a+b)}$

$a \neq \pm 2b, -\frac{b}{2}$のとき、

$\frac{2a-b}{a+2b}$

(4)

$\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3} \div \frac{(a+b)^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} \times \frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)^2} = \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a+b)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)^2}$

$a \neq \pm b, a^2+ab+b^2 \neq 0$のとき、

$\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2+2x}{2}$

(2) $x+5$

(3) $\frac{2a-b}{a+2b}$

(4) $\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$