不等式 $(x-2y+8)(3x+y+3)>0$ の表す領域を図示する問題です。ただし、$l: x-2y+8=0$、$m: 3x+y+3=0$ とおきます。

1. 問題の内容

不等式 $(x-2y+8)(3x+y+3)>0$ の表す領域を図示する問題です。ただし、$l: x-2y+8=0$、$m: 3x+y+3=0$ とおきます。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $(x-2y+8)(3x+y+3)>0$ を解きます。これは、以下の2つの場合に分けられます。

(i) $x-2y+8 > 0$ かつ $3x+y+3 > 0$

(ii) $x-2y+8 < 0$ かつ $3x+y+3 < 0$

次に、これらの不等式を $y$ について解きます。

(i) の場合:

$x - 2y + 8 > 0$ より $2y < x + 8$、よって $y < \frac{1}{2}x + 4$

$3x + y + 3 > 0$ より $y > -3x - 3$

(ii) の場合:

$x - 2y + 8 < 0$ より $2y > x + 8$、よって $y > \frac{1}{2}x + 4$

$3x + y + 3 < 0$ より $y < -3x - 3$

次に、$l$ と $m$ の交点を求めます。

$x - 2y + 8 = 0$

$3x + y + 3 = 0$

2番目の式を2倍すると $6x + 2y + 6 = 0$。これと最初の式を足し合わせると、

$7x + 14 = 0$

$x = -2$

$x = -2$ を最初の式に代入すると、

$-2 - 2y + 8 = 0$

$-2y = -6$

$y = 3$

したがって、$l$ と $m$ の交点の座標は $(-2, 3)$ となります。

不等式の表す領域を考えると、$y < \frac{1}{2}x+4$ は直線 $l$ の下側、$y > -3x-3$ は直線 $m$ の上側を表します。また、$y > \frac{1}{2}x+4$ は直線 $l$ の上側、$y < -3x-3$ は直線 $m$ の下側を表します。これらの条件を満たす領域を選択肢から選ぶと、図中の領域１が該当します。

1: 1

2: 2

3: 1/2

4: 1/2

5: -3

6: -3

7: -2

8: ,

9: 3

10: 1

3. 最終的な答え

1: 1

2: 2

3: 1/2

4: 1/2

5: -3

6: -3

7: -2

8: ,

9: 3

10: 1