関数 $y=x^2+x$ のグラフ上の点 $(1,2)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y=x^2+x$ のグラフ上の点 $(1,2)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

* まず、関数 $y=x^2+x$ を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = \frac{d}{dx}(x^2 + x) = 2x + 1$

* 次に、点 $(1,2)$ における接線の傾き $m$ を求める。これは、導関数 $y'$ に $x=1$ を代入することで得られる。

$m = y'(1) = 2(1) + 1 = 3$

* 点 $(1,2)$ を通り、傾きが $3$ の直線の方程式を求める。これは、点傾き形式の公式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を使用する。ここで、$(x_1, y_1) = (1, 2)$ であり、$m=3$ である。

$y - 2 = 3(x - 1)$

* 上記の方程式を整理して、標準形 $y = ax + b$ の形にする。

$y - 2 = 3x - 3$

$y = 3x - 3 + 2$

$y = 3x - 1$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は $y = 3x - 1$ である。