(1) 点(4, 2)を通り、円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ に接する直線 $l$ の方程式を求める。 (2) 2つの円 $C: (x-1)^2 + (y+1)^2 = 3$ と $D: (x+1)^2 + y^2 = 2$ の2つの交点をP, Qとする。3点P, Q, R(2, 1)を通る円の中心と半径を求める。

1. 問題の内容

(1) 点(4, 2)を通り、円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) 2つの円 $C: (x-1)^2 + (y+1)^2 = 3$ と $D: (x+1)^2 + y^2 = 2$ の2つの交点をP, Qとする。3点P, Q, R(2, 1)を通る円の中心と半径を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円 $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ の中心は (2, -1) で、半径は 3 である。

点 (4, 2) を通る直線の方程式は $y = m(x-4) + 2$ と表せる。すなわち $mx - y - 4m + 2 = 0$

この直線が円に接するということは、円の中心から直線までの距離が半径に等しいということである。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m(2) - (-1) - 4m + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 3$

$\frac{|-2m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3$

$(-2m + 3)^2 = 9(m^2 + 1)$

$4m^2 - 12m + 9 = 9m^2 + 9$

$5m^2 + 12m = 0$

$m(5m + 12) = 0$

$m = 0, -\frac{12}{5}$

$m=0$ のとき、直線は $y = 2$。

$m = -\frac{12}{5}$ のとき、直線は $y = -\frac{12}{5}(x-4) + 2 = -\frac{12}{5}x + \frac{48}{5} + \frac{10}{5} = -\frac{12}{5}x + \frac{58}{5}$

$5y = -12x + 58$

$12x + 5y - 58 = 0$

問題文に当てはまるのは $y = \frac{1}{a}x + by - c = 0$ の形であるため、$y=2$ の場合、$0x+1y-2=0$ と考える。

$y=2$を変形して、$0x+y-2=0$となるので、問題文の式と見比べると、$y=\frac{1}{0}x$となり不適。

よって、$12x + 5y - 58 = 0$の方を考える。

(2)

2つの円 C と D の交点を通る円の方程式は

$(x-1)^2 + (y+1)^2 - 3 + k((x+1)^2 + y^2 - 2) = 0$

この円が (2, 1) を通るので、

$(2-1)^2 + (1+1)^2 - 3 + k((2+1)^2 + 1^2 - 2) = 0$

$1 + 4 - 3 + k(9 + 1 - 2) = 0$

$2 + 8k = 0$

$k = -\frac{1}{4}$

$(x-1)^2 + (y+1)^2 - 3 - \frac{1}{4}((x+1)^2 + y^2 - 2) = 0$

$4(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 - 3) - (x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2) = 0$

$4(x^2 - 2x + y^2 + 2y - 1) - (x^2 + 2x + y^2 - 1) = 0$

$4x^2 - 8x + 4y^2 + 8y - 4 - x^2 - 2x - y^2 + 1 = 0$

$3x^2 - 10x + 3y^2 + 8y - 3 = 0$

$x^2 - \frac{10}{3}x + y^2 + \frac{8}{3}y - 1 = 0$

$(x - \frac{5}{3})^2 - \frac{25}{9} + (y + \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9} - 1 = 0$

$(x - \frac{5}{3})^2 + (y + \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9} + \frac{16}{9} + \frac{9}{9} = \frac{50}{9}$

中心 $(\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})$

半径 $\sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{\sqrt{50}}{3} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

y=2/5x+4/5y-58/5=0

1: 2

2: 1

3: 2

4: 5

5: 58

6: 5

(2)

中心: (5/3, -4/3)

7: 5

8: 3

9: -4

10: 4

11: 3

半径: $\frac{5\sqrt{2}}{3}$

12: 5

13: 2