原点中心、半径4の円C上に点P(4cosθ, 4sinθ)をとる。点Pから直線x=-5, y=-5に下ろした垂線の足をそれぞれQ, Rとする。長方形PQARの面積をSとする。 (1) Sをsinθとcosθで表す。 (2) t = sinθ + cosθ とおいたとき、sinθcosθをtで表し、Sをtの式で表す。また、点Pが円Cの周上を動くとき、tの値の取り得る範囲を求める。 (3) 面積Sの最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

原点中心、半径4の円C上に点P(4cosθ, 4sinθ)をとる。点Pから直線x=-5, y=-5に下ろした垂線の足をそれぞれQ, Rとする。長方形PQARの面積をSとする。

(1) Sをsinθとcosθで表す。

(2) t = sinθ + cosθ とおいたとき、sinθcosθをtで表し、Sをtの式で表す。また、点Pが円Cの周上を動くとき、tの値の取り得る範囲を求める。

(3) 面積Sの最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

PQ = 4sinθ - (-5) = 4sinθ + 5

PR = 4cosθ - (-5) = 4cosθ + 5

したがって、

S = (4sinθ + 5)(4cosθ + 5)

(2)

t = sinθ + cosθ

$t^2 = sin^2θ + 2sinθcosθ + cos^2θ = 1 + 2sinθcosθ$

$2sinθcosθ = t^2 - 1$

$sinθcosθ = \frac{1}{2}(t^2 - 1)$

S = (4sinθ + 5)(4cosθ + 5)

= 16sinθcosθ + 20(sinθ + cosθ) + 25

= 16 * $\frac{1}{2}(t^2 - 1)$ + 20t + 25

= 8(t^2 - 1) + 20t + 25

= 8t^2 - 8 + 20t + 25

= 8t^2 + 20t + 17

t = sinθ + cosθ = $\sqrt{2}sin(θ + \frac{\pi}{4})$

$-\frac{\pi}{2} \le θ \le \frac{\pi}{2}$ より、円C上を点Pが動くとき、$-\frac{\pi}{2} \le θ \le \frac{\pi}{2}$だから

$-\frac{\pi}{4} \le θ + \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$

$-1 \le sin(θ + \frac{\pi}{4}) \le 1$

$-\sqrt{2} \le \sqrt{2}sin(θ + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(3)

S = 8t^2 + 20t + 17

= 8$(t + \frac{5}{4})^2$ + 17 - 8*$\frac{25}{16}$

= 8$(t + \frac{5}{4})^2$ + $\frac{34 - 25}{2}$

= 8$(t + \frac{5}{4})^2$ + $\frac{9}{2}$

t = -5/4 のとき、Sは最小値9/2をとる。

t = $\sqrt{2}$ のとき、Sは最大値

8(2 + $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ + $\frac{25}{16}$) + $\frac{9}{2}$

= 16 + 20$\sqrt{2}$ + $\frac{25}{2}$ + $\frac{9}{2}$

= 16 + 20$\sqrt{2}$ + 17

= 33 + 20$\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) S = (4sinθ + 5)(4cosθ + 5)

(2) sinθcosθ = $\frac{1}{2}$(t^2 - 1), S = 8t^2 + 20t + 17, -$\sqrt{2}$ ≤ t ≤ $\sqrt{2}$

(3) 最大値: 33 + 20$\sqrt{2}$, 最小値: $\frac{9}{2}$