関数 $f(x) = x^2 + 4x + 1$ の増減を調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 4x + 1$ の増減を調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。この $x$ の値が極値を与える候補となります。

求めた $x$ の値の前後で $f'(x)$ の符号がどのように変化するかを調べます。

$f'(x) > 0$ ならば $f(x)$ は増加、$f'(x) < 0$ ならば $f(x)$ は減少します。

増減表を作成し、関数の増減をまとめます。

$f(x) = x^2 + 4x + 1$ を微分すると、

$f'(x) = 2x + 4$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、

$2x + 4 = 0$

$2x = -4$

$x = -2$

$x = -2$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べます。

$x < -2$ のとき、$f'(x) < 0$

$x > -2$ のとき、$f'(x) > 0$

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -2 | ... |

|------|-------|------|-------|

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 |

$x=-2$ のとき、$f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = x^2 + 4x + 1$ は $x < -2$ で減少し、$x > -2$ で増加します。

$x = -2$ で極小値 $-3$ をとります。