一辺の長さが2の正三角形ABCにおいて、辺BCの中点をDとするとき、内積$\vec{DC} \cdot \vec{CB}$を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正三角形ABCにおいて、辺BCの中点をDとするとき、内積$\vec{DC} \cdot \vec{CB}$を求める。

2. 解き方の手順

内積の定義を利用して計算する。

$\vec{DC} \cdot \vec{CB} = |\vec{DC}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos{\theta}$

ここで、$\theta$はベクトル$\vec{DC}$と$\vec{CB}$のなす角である。

$\vec{DC}$と$\vec{CB}$は一直線上にあり、逆向きなので、なす角$\theta$は$180^{\circ}$、つまり$\pi$である。

したがって、$\cos{\theta} = \cos{180^{\circ}} = -1$となる。

DはBCの中点なので、$|\vec{DC}| = \frac{1}{2}|\vec{BC}| = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$である。

また、$|\vec{CB}| = 2$である。

よって、$\vec{DC} \cdot \vec{CB} = 1 \cdot 2 \cdot (-1) = -2$となる。

3. 最終的な答え

-2