(1) 袋A（白玉4個、赤玉2個）から1個取り出して袋B（白玉3個、赤玉1個）に入れ、よく混ぜて袋Bから1個取り出して袋Aに戻す。袋Aの白玉の個数が初めと変わらない確率を求める。 (2) 10本のくじ（当たり4本、外れ6本）を1本ずつ2回引く。外れたくじは戻し、当たったくじは戻さないとき、 (i) 2本目が当たる確率 (ii) 2本目が外れる確率 を求める。

1. 問題の内容

(1) 袋A（白玉4個、赤玉2個）から1個取り出して袋B（白玉3個、赤玉1個）に入れ、よく混ぜて袋Bから1個取り出して袋Aに戻す。袋Aの白玉の個数が初めと変わらない確率を求める。

(2) 10本のくじ（当たり4本、外れ6本）を1本ずつ2回引く。外れたくじは戻し、当たったくじは戻さないとき、

(i) 2本目が当たる確率

(ii) 2本目が外れる確率

を求める。

2. 解き方の手順

(1)

袋Aの白玉の個数が変わらないのは、

i) 袋Aから白玉を取り出し、袋Bから白玉を取り出す

ii) 袋Aから赤玉を取り出し、袋Bから赤玉を取り出す

の2つの場合である。

i) 袋Aから白玉を取り出し、袋Bから白玉を取り出す確率：

袋Aから白玉を取り出す確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

袋Bには白玉が3個、赤玉が1個入っているので、袋Aから白玉を入れると、袋Bには白玉が4個、赤玉が1個となる。

袋Bから白玉を取り出す確率は $\frac{4}{5}$。

よって、確率は $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$。

ii) 袋Aから赤玉を取り出し、袋Bから赤玉を取り出す確率：

袋Aから赤玉を取り出す確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

袋Bには白玉が3個、赤玉が1個入っているので、袋Aから赤玉を入れると、袋Bには白玉が3個、赤玉が2個となる。

袋Bから赤玉を取り出す確率は $\frac{2}{5}$。

よって、確率は $\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$。

したがって、袋Aの白玉の個数が変わらない確率は

$\frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$。

(2)

(i) 2本目が当たる確率

1本目に当たる確率は $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$。このとき、残りの当たりくじは3本、くじの総数は9本なので、2本目が当たる確率は $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。

1本目が外れる確率は $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。このとき、当たりくじは4本のまま、くじの総数は10本のままなので、2本目が当たる確率は $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$。

よって、2本目が当たる確率は $\frac{2}{5} \times \frac{1}{3} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15} + \frac{6}{25} = \frac{10 + 18}{75} = \frac{28}{75}$。

(ii) 2本目が外れる確率

1本目に当たる確率は $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$。このとき、残りの外れくじは6本、くじの総数は9本なので、2本目が外れる確率は $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$。

1本目が外れる確率は $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。このとき、外れくじは6本のまま、くじの総数は10本のままなので、2本目が外れる確率は $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。

よって、2本目が外れる確率は $\frac{2}{5} \times \frac{2}{3} + \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{4}{15} + \frac{9}{25} = \frac{20 + 27}{75} = \frac{47}{75}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) (i) $\frac{28}{75}$

(ii) $\frac{47}{75}$