与えられた5つの式を展開する問題です。 (1) $(a+2)^3$ (2) $(3a-b)^3$ (3) $(x-4)(x^2+4x+16)$ (4) $(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$ (5) $(x+1)^4$

1. 問題の内容

与えられた5つの式を展開する問題です。

(1) $(a+2)^3$

(2) $(3a-b)^3$

(3) $(x-4)(x^2+4x+16)$

(4) $(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$

(5) $(x+1)^4$

2. 解き方の手順

(1) $(a+2)^3$ は、三項展開の公式 $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ を用いて展開します。

$a^3 + 3a^2(2) + 3a(2^2) + 2^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8$

(2) $(3a-b)^3$ も、三項展開の公式 $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ を用いて展開します。

$(3a)^3 - 3(3a)^2(b) + 3(3a)(b^2) - b^3 = 27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$

(3) $(x-4)(x^2+4x+16)$ は、因数分解の公式 $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を逆に利用して展開します。

$(x-4)(x^2+4x+16) = x^3 - 4^3 = x^3 - 64$

(4) $(a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$ は、まず $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を計算し、次に $(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2) = (a^2+b^2-ab)(a^2+b^2+ab)$ と見て、$(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ の公式を用いると、

$(a^2+b^2)^2 - (ab)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2 = a^4 + a^2b^2 + b^4$

最後に、$(a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$ を計算します。

$a^6 + a^4b^2 + a^2b^4 - a^4b^2 - a^2b^4 - b^6 = a^6 - b^6$

(5) $(x+1)^4$ は、二項定理またはパスカルの三角形を用いて展開します。

$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3(1) + 6x^2(1^2) + 4x(1^3) + 1^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$

(2) $27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$

(3) $x^3 - 64$

(4) $a^6 - b^6$

(5) $x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$