(1) $(x+3)^6$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める。 (2) $(2x+y)^8$ の展開式における $x^3y^5$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

(1) $(x+3)^6$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める。

(2) $(2x+y)^8$ の展開式における $x^3y^5$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いる。$(x+3)^6$ の一般項は

$${}_6 C_k x^k 3^{6-k}$$

$x^4$ の項の係数を求めるので、$k=4$ とおくと、

$${}_6 C_4 x^4 3^{6-4} = {}_6 C_4 x^4 3^2$$

${}_6 C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ なので、$x^4$ の項の係数は

$$15 \times 3^2 = 15 \times 9 = 135$$

(2) 二項定理を用いる。$(2x+y)^8$ の一般項は

$${}_8 C_k (2x)^k y^{8-k} = {}_8 C_k 2^k x^k y^{8-k}$$

$x^3y^5$ の項の係数を求めるので、$k=3$ とおくと、

$${}_8 C_3 (2x)^3 y^{8-3} = {}_8 C_3 2^3 x^3 y^5$$

${}_8 C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ なので、$x^3y^5$ の項の係数は

$$56 \times 2^3 = 56 \times 8 = 448$$

3. 最終的な答え

(1) 135

(2) 448