$\theta$ が第4象限にあり、$\cos\theta = \frac{5}{13}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\theta$ が第4象限にあり、$\cos\theta = \frac{5}{13}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いて $\sin\theta$ の値を求めます。

$\cos\theta = \frac{5}{13}$ を代入すると、

$\sin^2\theta + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1$

$\sin^2\theta + \frac{25}{169} = 1$

$\sin^2\theta = 1 - \frac{25}{169}$

$\sin^2\theta = \frac{169 - 25}{169}$

$\sin^2\theta = \frac{144}{169}$

$\sin\theta = \pm\sqrt{\frac{144}{169}}$

$\sin\theta = \pm\frac{12}{13}$

$\theta$ が第4象限にあるため、$\sin\theta$ は負の値を取ります。したがって、$\sin\theta = -\frac{12}{13}$ です。

次に、$\tan\theta$ の値を求めます。$\tan\theta$ は $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ で定義されるので、

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = -\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = -\frac{12}{5}$

したがって、$\tan\theta = -\frac{12}{5}$ です。

3. 最終的な答え

$\sin\theta = -\frac{12}{13}$

$\tan\theta = -\frac{12}{5}$