与えられた式 $4x^2 + 4ax - 3a^2 + 2x + 7a - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^2 + 4ax - 3a^2 + 2x + 7a - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$についての二次式として整理します。

$4x^2 + (4a + 2)x + (-3a^2 + 7a - 2)$

次に、定数項 $-3a^2 + 7a - 2$ を因数分解します。

$-3a^2 + 7a - 2 = -(3a^2 - 7a + 2) = -(3a - 1)(a - 2) = (1 - 3a)(a - 2)$

与式全体が因数分解できると仮定すると、次のようになると考えられます。

$(2x + pa + q)(2x + ra + s)$の形になるはずです。

ここで、$p, q, r, s$は定数です。

$(2x + pa + q)(2x + ra + s) = 4x^2 + (2p + 2r)ax + (2q + 2s)x + par a^2 + (ps + qr)a + qs$

$4x^2 + (2p + 2r)ax + par a^2 + (2q + 2s)x + (ps + qr)a + qs$

与式と比較すると、$2p + 2r = 4, par = -3, 2q + 2s = 2, ps + qr = 7, qs = -2$となります。

$4x^2 + (4a+2)x -3a^2 + 7a -2$を因数分解すると、

$4x^2 + 4ax + 2x -3a^2 + 7a -2$

$4x^2 + 4ax + 2x - (3a^2 - 7a + 2)$

$4x^2 + 4ax + 2x - (3a - 1)(a - 2)$

$(2x + a - 2)(2x + 3a - 1)$

係数を比較します。

$(2x + a - 2)(2x + 3a - 1) = 4x^2 + 6ax - 2x + 2ax + 3a^2 - a - 4x - 6a + 2 = 4x^2 + 8ax - 6x +3a^2 - 7a + 2$

$(2x - a + 2)(2x -3a + 1) = 4x^2 -6ax +2x -2ax + 3a^2 - a + 4x -6a + 2 = 4x^2 - 8ax + 6x + 3a^2 -7a + 2$

$(2x + 3a - 1)(2x - a + 2) = 4x^2 -2ax + 4x + 6ax - 3a^2 + 6a -2x + a - 2 = 4x^2 + 4ax + 2x - 3a^2 + 7a -2$

3. 最終的な答え

$(2x + 3a - 1)(2x - a + 2)$