1 の 3 乗根のうち、虚数であるものの 1 つを $\omega$ とするとき、$\omega^3 + \omega^2 + \omega$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

1 の 3 乗根のうち、虚数であるものの 1 つを $\omega$ とするとき、$\omega^3 + \omega^2 + \omega$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\omega$ は $x^3 = 1$ の解であるから、

$x^3 - 1 = 0$

$(x-1)(x^2+x+1) = 0$

$\omega$ は虚数であるから、$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解である。

よって、

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$

また、$\omega^3 = 1$ である。

したがって、

$\omega^3 + \omega^2 + \omega = 1 + (\omega^2 + \omega)$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega^2 + \omega = -1$ であるから、

$\omega^3 + \omega^2 + \omega = 1 + (-1) = 0$

3. 最終的な答え

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