(1) $i$ を虚数単位として、$\frac{2+5i}{4+i} - \frac{i}{4-i}$ を計算せよ。 (2) $\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

(1) $i$ を虚数単位として、$\frac{2+5i}{4+i} - \frac{i}{4-i}$ を計算せよ。

(2) $\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、それぞれの分数を実数化します。

$\frac{2+5i}{4+i}$ を実数化するために、分母の共役複素数 $4-i$ を分子と分母にかけます。

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\frac{2+5i}{4+i} = \frac{(2+5i)(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{8 - 2i + 20i - 5i^2}{16 - i^2} = \frac{8 + 18i + 5}{16 + 1} = \frac{13 + 18i}{17}

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$\frac{i}{4-i}$ を実数化するために、分母の共役複素数 $4+i$ を分子と分母にかけます。

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\frac{i}{4-i} = \frac{i(4+i)}{(4-i)(4+i)} = \frac{4i + i^2}{16 - i^2} = \frac{4i - 1}{16 + 1} = \frac{-1 + 4i}{17}

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したがって、

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\frac{2+5i}{4+i} - \frac{i}{4-i} = \frac{13+18i}{17} - \frac{-1+4i}{17} = \frac{13+18i + 1 - 4i}{17} = \frac{14+14i}{17} = \frac{14}{17} + \frac{14}{17}i

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(2) $\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$ の値を $x$ とおきます。つまり、

$x = \sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$

両辺を2乗します。

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x^2 = (\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}})^2 = (2+\sqrt{3}) + 2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} + (2-\sqrt{3})

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= 4 + 2\sqrt{4-3} = 4 + 2\sqrt{1} = 4 + 2 = 6

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$x^2 = 6$ より $x = \pm\sqrt{6}$

ここで、$\sqrt{2+\sqrt{3}}$ と $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ はどちらも正なので、 $x$ も正である必要があります。

したがって $x = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{14}{17} + \frac{14}{17}i$

(2) $\sqrt{6}$