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定積分 $\int_{-1}^{2} (6x - 2) \, dx$ を計算します。

解析学定積分積分計算不定積分
2025/3/24

1. 問題の内容

定積分 ∫−12(6x−2) dx\int_{-1}^{2} (6x - 2) \, dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 6x−26x - 2 の不定積分を求めます。
∫(6x−2) dx=6∫x dx−2∫1 dx=6⋅x22−2x+C=3x2−2x+C\int (6x - 2) \, dx = 6 \int x \, dx - 2 \int 1 \, dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} - 2x + C = 3x^2 - 2x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、定積分の定義に従い、求めた不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算します。
∫−12(6x−2) dx=[3x2−2x]−12=(3(2)2−2(2))−(3(−1)2−2(−1))=(3(4)−4)−(3(1)+2)=(12−4)−(3+2)=8−5=3\int_{-1}^{2} (6x - 2) \, dx = [3x^2 - 2x]_{-1}^{2} = (3(2)^2 - 2(2)) - (3(-1)^2 - 2(-1)) = (3(4) - 4) - (3(1) + 2) = (12 - 4) - (3 + 2) = 8 - 5 = 3

3. 最終的な答え

∫−12(6x−2) dx=3\int_{-1}^{2} (6x - 2) \, dx = 3

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