$(x+4)^3$ を展開せよ。

1. 問題の内容

$(x+4)^3$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

$(x+4)^3$ を展開するために、二項定理またはパスカルの三角形を利用する方法があります。ここでは、二項定理を利用します。

二項定理とは、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$

というものです。ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数と呼ばれ、$\frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算できます。

今回の問題では、$a=x$, $b=4$, $n=3$ なので、

$(x+4)^3 = \binom{3}{0}x^3 4^0 + \binom{3}{1}x^2 4^1 + \binom{3}{2}x^1 4^2 + \binom{3}{3}x^0 4^3$

となります。

二項係数を計算します。

$\binom{3}{0} = \frac{3!}{0!3!} = 1$

$\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$

$\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$

$\binom{3}{3} = \frac{3!}{3!0!} = 1$

よって、

$(x+4)^3 = 1 \cdot x^3 \cdot 1 + 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot 64$

$= x^3 + 12x^2 + 48x + 64$

3. 最終的な答え

$x^3 + 12x^2 + 48x + 64$