(1) 2次方程式 $3x^2 - 2kx + k = 0$ が実数解をもたないような定数 $k$ の値の範囲を求める。 (2) 2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $3x^2 - 2kx + k = 0$ が実数解をもたないような定数 $k$ の値の範囲を求める。

(2) 2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が実数解を持たない条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ である。

この問題では、$a = 3$, $b = -2k$, $c = k$ であるから、判別式は

$D = (-2k)^2 - 4(3)(k) = 4k^2 - 12k$

実数解を持たない条件は、$D < 0$ であるから、

$4k^2 - 12k < 0$

$4k(k - 3) < 0$

$k(k - 3) < 0$

したがって、$0 < k < 3$

(2)

2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数である条件は、2次関数 $y = x^2 + 2mx + 6m - 5$ のグラフが常に $x$ 軸より上にあることである。

これは、判別式 $D < 0$ となることと同値である。

$D = (2m)^2 - 4(1)(6m - 5) = 4m^2 - 24m + 20$

$D < 0$ より

$4m^2 - 24m + 20 < 0$

$m^2 - 6m + 5 < 0$

$(m - 1)(m - 5) < 0$

したがって、$1 < m < 5$

3. 最終的な答え

(1) $0 < k < 3$

(2) $1 < m < 5$