問題は、$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に同じ式をかける操作を2回行う必要がある。1回目と2回目にそれぞれどのような式をかければよいか答える問題です。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に同じ式をかける操作を2回行う必要がある。1回目と2回目にそれぞれどのような式をかければよいか答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、$1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ を $(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}$ と見て、$\sqrt{3}$ を消去することを考えます。そのためには、$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}$ をかけます。

1回目にかける式は、$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}$ です。

この式を分母と分子にかけた結果は、

$\frac{1}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} \times \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3} = \frac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

となります。

次に、分母の $2\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を消去するために、$\sqrt{2}$ をかけます。

2回目にかける式は、$\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

1回目にかける式: $1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}$

2回目にかける式: $\sqrt{2}$